Question

如圖，把一張長(zhǎng)10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）．
（1）要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少；
（2）你感到折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積會(huì)不會(huì)有更大的情況？如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，請(qǐng)你說明理由；
（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況？如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，請(qǐng)你說明理由．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，可根據(jù)矩形的面積公式，用x表示出長(zhǎng)方體盒子底面的長(zhǎng)和寬，得出方程求出x的值．
（2）同（1）先用x表示出不同側(cè)面的長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積將4個(gè)側(cè)面的面積相加，得出關(guān)于側(cè)面積和正方形邊長(zhǎng)的函數(shù)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍來得出側(cè)面積的最大值．
（3）方法同（2）只不過要分兩種情況進(jìn)行討論，一種是在矩形的長(zhǎng)邊剪去2個(gè)小長(zhǎng)方形（如圖1），一種是在矩形的寬上剪去兩個(gè)小長(zhǎng)方形（如圖2）．

解答：解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則（10-2x）（8-2x）=48．
即x²-9x+8=0．
解得x₁=8（不合題意，舍去），x₂=1．
∴剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1cm．

（2）有側(cè)面積最大的情況．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，盒子的側(cè)面積為ycm²，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x．
即y=-8x²+36x．（0＜x＜4）
改寫為y=-8（x-

9

4

）²+

81

2

．
∴當(dāng)x=2.25時(shí)，y最大=40.5．
即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm²．

（3）有側(cè)面積最大的情況．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，盒子的側(cè)面積為ycm²．
若按圖1所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=2（8-2x）x+2•

10-2x

2

•x．
即y=-6（x-

13

6

）²+

169

6

．
∴當(dāng)x=

13

6

時(shí)，y最大=

169

6

．
若按圖2所示的方法剪折，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=2（10-2x）x+2•

8-2x

2

•x．
即y=-6（x-

7

3

）²+

98

3

．
∴當(dāng)x=

7

3

時(shí)，y最大=

98

3

．
比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為

7

3

cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為

98

3

cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的面積的求法，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)面積的計(jì)算方法正確的表示出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．