Question

如圖，把一張長10cm，寬8cm的長方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．
（1）要使無蓋長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少？
（2）你認為折合而成的無蓋長方體盒子的側面積有可能等于52cm²嗎？請說明理由；
（3）如果把長方形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的長方形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，那么它的側面積（指的是高為剪去的正方形邊長的長方體的側面積）可以達到30cm²嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可設剪去的正方形邊長為xcm，根據無蓋長方體盒子的底面積為48cm²，可得方程（10-2x）（8-2x）=48求解即可；
（2）可設剪去的正方形邊長為xcm，根據無蓋長方體盒子的側面積等于52 cm²，可得方程2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52，再根據根的判別式作出判斷；
（3）可設剪去的正方形邊長為xcm，可以分為兩種情況，根據側面積為30cm²列方程討論求解．

解答：解：（1）設剪去的正方形邊長為xcm，由題意，得
（10-2x）（8-2x）=48，即x²-9x+8=0
解得x₁=8（不合題意，舍去），x₂=1．
∴剪去的正方形的邊長為1cm．                  …（2分）

（2）折合而成的無蓋長方體盒子的側面積不可能等于52 cm²，理由如下：
設剪去的正方形邊長為xcm，
由題意，得　2[x（10-2x）+x（8-2x）]=52…（2分）
整理得2x²-9x+13=0
∵△=b²-4ac=81-4×2×13＜0，
∴原方程沒有實數解．
即折合而成的無蓋長方體盒子的側面積不可能等于52 cm²．…（2分）

（3）設剪去的正方形邊長為xcm，
若按圖1所示的方法剪折，
解方程2(8-2x)x+2×

10-2x

2

•x=30，得該方程沒有實數解．…（3分）
若按圖2所示的方法剪折，
解方程2(10-2x)x+2×

8-2x

2

•x=30，
得x1=

5

3

，x2=3．
∴當按圖2所示的方法剪去的正方形邊長為

5

3

cm或3cm時，能使得到的有蓋長方體盒子的側面積達到30 cm²．…（3分）

點評：考查了一元二次方程的應用和根的判別式，找到面積的等量關系是解決本題的關鍵；易錯點是得到各邊長的代數式．