Question

如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對于任意點P，在射線OP上取一點P′，使得OP•OP′=r²，這把點P變為點P的變換叫做反演變換，點P與點P′叫做互為反演點．
（1）如圖2，⊙O內外各一點A和B，它們的反演點分別為A和B′．求證：∠A′=∠B；
（2）如果一個圖形上各點經過反演變換得到的反演點組成另一個圖形，那么這兩個圖形叫做互為反演圖形．

①選擇：如果不經過點O的直線l與⊙O相交，那么它關于⊙O的反演圖形是
A、一個圓；B、一條直線；C、一條線段；D、兩條射線
②填空：如果直線l與⊙O相切，那么它關于⊙O的反演圖形是______，該圖形與圓O的位置關系是______．

Answer 1

解：（1）由題意知：OA•OA′=OB•OB′=r²，，
∵∠AOB=∠B′OA′，
∴△AOB∽△B′OA′，
∴∠A′=∠B，

（2）①選擇A；
②圓；內切．
分析：（1）根據題中給出的條件可得出OB•OB′=OA•OA′=r²，將等積式轉換為比例式后即可得出△OAB和△OBA相似，由此可證得所求的條件．
（2）①應該是一個過O點過兩個交點的圓，反演圖形中圓和直線都看成圓的話，結論會很簡單，一個圓關于⊙O反演圖形仍然是圓，這時直線可以看成圓心無限遠半徑無限大的圓，
根據OP•OP′=r²知：
⊙O外的點的反演點在⊙O內；
⊙O內的點的反演點在⊙O外；
⊙O上的點的反演點在⊙O上；
直線與⊙O相交的點的反演點還是該點，
直線上的無窮遠處的點反演到圓心，
于是三點確定一個圓．
②如果直線l與⊙O相切，那么它關于⊙O的反演圖形是過切點和O點的圓，該圖形與圓O的位置關系是內切，既然直線只與⊙O有一個交點，那么反演圖形與⊙O只有一個交點，即相切．
直線l上有無限遠點，于是反演圖形過⊙O，于是反演圖形為⊙O的內切圓．
點評：本題定義三個概念即反演變換、反演點、反演圖形．第一問的求解，是在理解題意的基礎上直接引用，把等積式轉換為比例式．第二問的求救，則需從特殊到一般的分析、歸納、猜想，其中還滲透著無限逼近的思想．