Question

【題目】如圖，在⊙O中，點C是直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，連結BD．

（1）求證：∠A=∠BDC；

（2）若CM平分∠ACD，且分別交AD、BD于點M、N，當DM=1時，求MN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由圓周角推論可得∠A+∠ABD=90°，由切線性質可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；

（2）由角平分線及三角形外角性質可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根據勾股定理可求得MN的長．

試題解析：（1）如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD與⊙O相切于點D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；

（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．