Question

【題目】一次函數y＝﹣2x﹣2分別與x軸、y軸交于點A、B．頂點為（1，4）的拋物線經過點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C為第一象限拋物線上一動點．設點C的橫坐標為m，△ABC的面積為S．當m為何值時，S的值最大，并求S的最大值；

（3）在（2）的結論下，若點M在y軸上，△ACM為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3

（2）當m＝2時，S的值最大，最大值為

（3）（0，﹣1）、（0，5）、或

【解析】

(1)設拋物線的解析式為，代入點A的坐標即可求解.
(2)連接0C，可得點根據一次函數y=-2x-2得出點A、B的坐標,然后利用三角形面積公式得出的表達式,利用二次函數的表達式即可求解.

(3)設M（0，n），已知A、C點坐標可求出直線AC的解析式，分三種情況，當AC⊥MC，求出M點坐標，當AC⊥AM時，求出M點坐標，當AM⊥MC時，求出M點坐標.

（1）一次函數y＝﹣2x﹣2與x軸交于點A，則A的坐標為（﹣1，0），

∵拋物線的頂點為（1，4），

∴設拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+4，

∵拋物線經過點A（﹣1，0），

∴0＝a（﹣1﹣1）2+4，

∴a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）連接OC，點C為第一象限拋物線上一動點，點C的橫坐標為m，

∴C（m，﹣m2+2m+3），

一次函數y＝﹣2x﹣2與y軸交于點B，則OB＝2，

∵A的坐標為（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴，

∴當m＝2時，S的值最大，最大值為.

（3）設M（0，n），

∵A（﹣1，0），C（2，3），

∴直線AC的解析式為y＝x+1，

①當AC⊥MC時，＝﹣1，

∴n＝5，

∴M（0，5）；

②當AC⊥AM時，n＝﹣1，

∴M（0，﹣1）；

③當AM⊥MC時，n＝﹣1，

∴n＝

∴M（0，）或M（0，）；

綜上所述：點M的坐標為（0，﹣1）、（0，5）、（0，）或（0，）．