Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，⊙O經(jīng)過(guò)A、D、B三點(diǎn)，CB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E（如圖1）。

在滿足上述條件的情況下，當(dāng)∠CAB的大小變化時(shí)，圖形也隨著改變（如圖2），在這個(gè)變化過(guò)程中，有些線段總保持著相等的關(guān)系。

（1）觀察上述圖形，連結(jié)圖2中已標(biāo)明字母的某兩點(diǎn)，得到一條新線段，證明它與線段CE相等；

（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F。

    ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；

    ②若，試用含n的代數(shù)式表示sin∠CAB（直接寫(xiě)出結(jié)果）。

 

（1）連結(jié)__________________

         求證：_________＝CE

         證明：

（2）解：①

             ②_____________（）

Answer 1

（1）證法一：如圖3，連結(jié)OD

    ∵∠ABC＝90°，CB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E

    ∴∠ABE＝90°    ∴AE是⊙O的直徑

    ∵D是AC的中點(diǎn)，O是AE的中點(diǎn)

        ∴AE＝CE

證法二：如圖4，連結(jié)BD

    在Rt△ABC中，∠ABC＝90°

∵D是AC的中點(diǎn)   

∴AD＝CD＝BD     ∴∠1＝∠2

 ∵四邊形AEBD內(nèi)接于⊙O   

∴∠1＝∠DAE    ∴∠2＝∠DAE    ∴AE＝CE

證法三：如圖5，連結(jié)DE

同證法一，得AE是⊙O的直徑    ∴∠ADE＝90°

∵D是AC的中點(diǎn)   

∴DE是線段AC的垂直平分線

    ∴AE＝CE

（2）①解法一：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖6，連結(jié)DE。

    ∵EF是⊙O的切線

    ∴∠3＝∠4，且

   

    設(shè)，則

   

    ∵AE是⊙O的直徑    ∴∠AEF＝90°

    在Rt△AEF中，

   

   

解法二：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖7，連結(jié)DE。

∵AE是⊙O的直徑，EF是⊙O的切線  

 ∴∠ADE＝∠AEF＝90°

    ∴Rt△ADE∽R(shí)t△EDF

   

    設(shè)，則

   

    在Rt△CDE中

   

   

    ②（）