Question

【題目】如圖四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個結論中正確的是（　　）

①若菱形ABCD的邊長為1，則AM+CM的最小值1；

②△AMB≌△ENB；

③S四邊形AMBE=S四邊形ADCM；

④連接AN，則AN⊥BE；

⑤當AM+BM+CM的最小值為2時，菱形ABCD的邊長為2．

A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①②⑤ D. ②③⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】解：①連接AC，交BD于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO

∴點A，點C關于直線BD對稱，∴M點與O點重合時AM+CM的值最小為AC的值

∵∠ABC=60，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即AM+CM的值最小為1，故①正確．

②∵△ABE是等邊三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．

∵∠MBN=60°，∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．

即∠MBA=∠NBE．

又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故②正確．

③∵S△ABE+S△ABM=S四邊形AMBE

S△ACD+S△AMC=S四邊形ADCM，且S△AMB≠S△AMC，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，∴S四邊形AMBE≠S四邊形ADCM，故③錯誤．

④假設AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分線，∴EN=BN=BM=MN，∴M點與O點重合，∵條件沒有確定M點與O點重合，故④錯誤．

⑤如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等邊三角形，∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短

∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．

過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF=180°﹣120°=60°，設菱形的邊長為x，∴BF=x，EF=x，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴ ，解得x=2，故⑤正確．

綜上所述，正確的答案是：①②⑤，故選C．