Question

如圖，△ABC與△ABD都是等邊三角形，點E，F分別在BC，AC上，BE=CF，AE與BF交于點G．
（1）求∠AGB的度數；
（2）連接DG，求證：DG=AG+BG．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得到AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再根據三角形全等的判定方法可證得△ABE≌△BCF，則∠BAE=∠FBC，利用三角形外角性質得∠BGE=∠ABG+∠BAE，則∠BGE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，然后利用鄰補角的定義可計算出∠AGB的度數；
（2）延長GE至點H，使GH=GB，由于∠BGE=60°，根據等邊三角形的判定得到△BGH為等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質得到BG=BH=GH，∠GBH=60°，且AB=BD，∠ABD=60°，易得∠ABH=∠DBG，根據三角形全等的判定方法可證得△DBG≌△ABH（SAS），則DG=AH，即可得到DG=AG+BG．

解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠C BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠FBC，
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°，
∴∠AGB=180°-∠BGE=120°；

（2）證明：延長GE至點H，使GH=GB，如圖，
∵∠BGE=60°，
∴△BGH為等邊三角形，
∴BG=BH=GH，∠GBH=60°，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∵∠ABH=∠GBH+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，
∴∠ABH=∠DBG，
∵在△DBG和△ABH中，

DB=AB ∠DBG=∠ABH BG=BH

，
∴△DBG≌△ABH（SAS），
∴DG=AH，
而AH=AG+GH，
∴DG=AG+BG．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質．