Question

【題目】如圖，直線y＝kx＋4(k≠0)與x軸、y軸分別交于點B，A，直線y＝－2x＋1與y軸交于點C，與直線y＝kx＋4交于點D，△ACD的面積是.

(1)求直線AB的表達式；

(2)設點E在直線AB上，當△ACE是直角三角形時，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】(1)直線AB的表達式為y＝x＋4；(2)當△ACE是直角三角形時，點E的坐標為(－3，1)或(－，).

【解析】

(1)將=0分別代入兩個一次函數表達式中求出點A、C的坐標,進而即可得出AC的長度,再根據三角形的面積公式結合△ACD的面積即可求出點D的橫坐標,利用一次函數圖象上點的坐標特即可求出點D的坐標,由點D的坐標利用待定系數法即可求出直線AB的表達式;

(2)由直線AB的表達式即可得出△ACE為等腰直角三角形,分∠ACE=90和∠AEC=90兩種情況考慮,根據點A、C的坐標利用等腰直角三角形的性質即可得出點E的坐標,此題得解.

(1)當x＝0時，y＝kx＋4＝4，y＝－2x＋1＝1，

∴A(0，4)，C(0，1)，

∴AC＝3.

∵S△ACD＝AC·(－xD)＝－xD＝，

∴xD＝－1.

當x＝－1時，y＝－2x＋1＝3，

∴D(－1，3).

將D(－1，3)代入y＝kx＋4，得－k＋4＝3，

解得k＝1，

∴直線AB的表達式為y＝x＋4.

(2)∵直線AB的表達式為y＝x＋4，

∴△ACE為等腰直角三角形.

如圖，當∠ACE＝90°時，

∵A(0，4)，C(0，1)，AC＝3，

∴CE1＝3，E1的橫坐標為－3.

將x＝－3代入y＝x＋4中，得y＝1，

∴E1(－3，1)；

當∠AE2C＝90°時，

∵A(0，4)，C(0，1)，AC＝3，

過點E2作E2F⊥AC于點F，E2F＝AF＝FC＝AC＝，

∴E2(－，).

綜上所述，當△ACE是直角三角形時，點E的坐標為(－3，1)或(－，).