Question

（2012•北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ．
（1）若α=60°且點P與點M重合（如圖1），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數；

（2）在圖2中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線于射線BM交于點D，猜想∠CDB的大小（用含α的代數式表示），并加以證明；
（3）對于適當大小的α，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B，M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出α的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用圖形旋轉的性質以及等邊三角形的判定得出△CMQ是等邊三角形，即可得出答案；
（2）首先利用已知得出△APD≌△CPD，進而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；
（3）由（2）得出∠CDB=90°-α，且PQ=QD，進而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，得出α的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中點，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等邊三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；

（2）如圖2，連接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中點，
∴BM⊥AC，
即BD為AC的垂直平分線，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD與△CPD中，
∵

AD=CD PD=PD PA=PC

，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；

（3）如圖1，延長BM，CQ交于點D，連接AD，
∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵點P不與點B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵點P在線段BM上運動，∠PAD最大為2α，∠PAD最小等于α”，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質，得出∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°是解題關鍵．