Question

（2012•北京）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|y₁-y₂|．
例如：點P₁（1，2），點P₂（3，5），因為|1-3|＜|2-5|，所以點P₁與點P₂的“非常距離”為|2-5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點）．
（1）已知點A（-

1

2

，0），B為y軸上的一個動點，
①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標；
②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線y=

3

4

x+3上的一個動點，
①如圖2，點D的坐標是（0，1），求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應的點C的坐標；
②如圖3，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應的點E與點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）①根據點B位于y軸上，可以設點B的坐標為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0-y|=2，據此可以求得y的值；
②設點B的坐標為（0，y）．因為|-

1

2

-0|≥|0-y|，所以點A與點B的“非常距離”最小值為|-

1

2

-0|=

1

2

；
（2）①設點C的坐標為（x₀，

3

4

x₀+3）．根據材料“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|”知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為-x₀=

3

4

x₀+2，據此可以求得點C的坐標；
②當點E在過原點且與直線y=

3

4

x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，即E（-

3

5

，

4

5

）．解答思路同上．

解答：解：（1）①∵B為y軸上的一個動點，
∴設點B的坐標為（0，y）．
∵|-

1

2

-0|=

1

2

≠2，
∴|0-y|=2，
解得，y=2或y=-2；
∴點B的坐標是（0，2）或（0，-2）；
②點A與點B的“非常距離”的最小值為

1

2

（2）①如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，需要根據運算定義“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點P₁與點P₂的“非常距離”為|x₁-x₂|”解答，此時|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．即AC=AD，
∵C是直線y=

3

4

x+3上的一個動點，點D的坐標是（0，1），
∴設點C的坐標為（x₀，

3

4

x₀+3），
∴-x₀=

3

4

x₀+2，
此時，x₀=-

8

7

，
∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=

8

7

，
此時C（-

8

7

，

15

7

）；
②當點E在過原點且與直線y=

3

4

x+3垂直的直線上時，點C與點E的“非常距離”最小，設E（x，y）（點E位于第二象限）．則

y x =- 4 3 x2+y2=1

，
解得，

x=- 3 5 y= 4 5

，
故E（-

3

5

，

4

5

）．
-

3

5

-x₀=

3

4

x₀+3-

4

5

，
解得，x₀=-

8

5

，
則點C的坐標為（-

8

5

，

9

5

），
最小值為1．

點評：本題考查了一次函數綜合題．對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件．本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關鍵．