Question

【題目】某數學活動小組在作等邊三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：

操作發現：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是____(填序號即可)

；；整個圖形是軸對稱圖形；．

數學思考：在任意中，分別以AB和AC為斜邊，向的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；

類比研究：在任意中，仍分別以AB和AC為斜邊，向的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷的形狀？

Answer 1

【答案】操作發現：①②③④.；數學思考：，，理由見解析；類比探究：是等腰直角三角形

【解析】

操作發現：由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質，直角三角形的性質就可以得出結論；

數學思考：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線的性質就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，依據平行四邊形的對角相等及三角形全等的判定，可得≌，根據其性質就可以得出結論；

類比探究：作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據三角形的中位線的性質可以得出≌，由全等三角形的性質就可以得出結論.

解：（操作發現）

和是等腰直角三角形，于點F，于點G，

，

，．

又，

，故正確；

∵在和中，

≌，

，，

是BC的中點，

．

，

，

，

即．

在和中，

≌，

故正確；

連接AM，根據前面的證明可以得出將圖形1沿AM對折左右兩部分能完全重合，

整個圖形是軸對稱圖形，故正確．

，，

，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴,

同理,

又∵在中，+==,

∴+=,

即=,

∴,

∴，

故正確，

故答案為：①②③④.

（數學思考）

，．理由如下：

作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，則，．

又是BC的中點，

，，

四邊形AFMG是平行四邊形，

，，．

和是等腰直角三角形，，．

，，，，

，，．

，，，

．

在和中，

≌，

，．

，

．

，

，

，

，

即，

．

，；

（類比探究）

作AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，

點M、F、G分別是BC、AB、AC的中點，

，，，，

四邊形MFAG是平行四邊形，

，

和是等腰直角三角形，

，，

，，，

即．

在和中，

≌，

，．

，

，

，

，

即，

為等腰直角三角形．