Question

【題目】如圖1，二次函數y=a（x2﹣x﹣6）（a≠0）的圖象過點C（1，﹣），與x軸交于A，B兩點（點A在x軸的負半軸上），且A，C兩點關于正比例函數y=kx（k≠0）的圖象對稱．

（1）求二次函數與正比例函數的解析式；

（2）如圖2，過點B作BD⊥x軸交正比例函數圖象于點D，連接AC，交正比例函數的圖象于點E，連接AD，CD．如果動點P從點A沿線段AD方向以每秒2個單位的速度向D運動，同時動點Q從點D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點C運動，當其中一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，連接PQ，QE，PE，設運動時間為t秒，是否存在某一刻，使PE，QE分別平分∠APQ和∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）正比例函數解析式為y=x．（2）見試題解析

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出a的值，求出AC中點E坐標，再證明OA=OC，直線OE就是所求的正比例函數．

（2）如答圖1所示，關鍵是證明△APE∽△CEQ．根據∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，證明△APE∽△CEQ，根據相似線段比例關系列出方程，解方程求出時間t的值．

試題解析：（1）把點C（1，﹣）代入拋物線解析式y=a（x2﹣x﹣6）得a=，

∴拋物線解析式為y=x2﹣﹣，∵OA=2，OC==2，∴OA=OC，

∵A、C中點E的坐標為（﹣，﹣），∴直線OE垂直平分AC，即A、C關于直線OE對稱，

∴直線OE解析式為y=x，∴所求是正比例函數解析式為y=x．

（2）假設存在．

如答圖1所示，在Rt△ACK中，由勾股定理得：AC===2，∵OB=3，∴BD=3，AB=OA+OB=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD===2，

∵點A、C關于y=x對稱，∴CD=AD=2，∠DAC=∠DCA，AE=CE=AC=，

連接PQ、PE，QE，則∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE，在四邊形APQC中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°（四邊形內角和等于360°），即2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°，

∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°，又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°（三角形內角和定理），

∴∠AEP=∠CQE，在△APE與△CEQ中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，

∴△APE∽△CEQ，∴=，即：＝ ，

整理得：2t2﹣4t+3=0，

解得：t=或t=（t＜，所以舍去），

∴存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，此時t=．