Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過點Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請判斷OA、OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；

（3）在平移變換過程中，設y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OA⊥OP；（3） 或，當x=2時，y有最大值為2．

【解析】

試題（1）根據平移的性質，可得PQ，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；
（2）根據正方形的性質，平移的性質，可得PQ與AB的關系，根據等腰直角三角形的判定與性質，可得∠PQO，根據全等三角形的判定與性質，可得AO與OP的數量關系，根據余角的性質，可得AO與OP的位置關系；
（3）根據等腰直角三角形的性質，可得OE的長，根據三角形的面積公式，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得到答案．

試題解析：

(1)四邊形APQD為平行四邊形．

(2)OA＝OP，OA⊥OP.理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°.

∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO，∴OB＝OQ，

∴△AOB≌△OPQ(SAS)．

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP.

(3)如解圖，過點O作OE⊥BC于點E.

①當點P在點B右側時，

BQ＝x＋2，OE＝，

∴y＝··x

＝－.

又∵0≤x≤2，

∴當x＝2時，y有最大值2.

②如解圖②，當點P在點B左側時，

BQ＝2－x，OE＝，

∴y＝··x

＝－＋.

又∵0≤x≤2，

∴當x＝1時，y有最大值.

綜上所述，y的最大值為2.