Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4cm，CD⊥AB于點D，動點P從點A出發，沿AC以2cm/s的速度向終點C運動，當點P出發后，過點P作PQ∥BC交折線AD﹣DC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQR，設四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形的面積為S（cm2），點P運動的時間為t（s）．

（1）當點Q在線段AD上時，用含t的代數式表示QR的長；
（2）求點R運動的路程長；
（3）當點Q在線段AD上時，求S與t之間的函數關系式；
（4）直接寫出以點B，Q，R為頂點的三角形是直角三角形時t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=∠B=60°．

∵PQ∥BC，

∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°，

∴△APQ是等邊三角形．

∴PQ=AP=2t．

∵△PQR是等邊三角形，

∴QR=PQ=2t

（2）

解：過點A作AG⊥BC于點G，如圖②，

則點R運動的路程長是AG+CG．

在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°= = ，cos60°= = ，AC=4，

∴AG=2 ，CG=2．

∴點R運動的路程長2 +2

（3）

解：①當0＜t≤ 時，如圖③，

S=S菱形APRQ=2×S正△APQ=2× ×（2t）2=2 t2；

②當 ＜t≤1時，如圖④

PE=PCsin∠PCE=（4﹣2t）× =2﹣t，

∴ER=PR﹣PE=2t﹣（2﹣t）=3t﹣2，

∴EF=ERtanR= （3t﹣2）

∴S=S菱形APRQ﹣S△REF

=2 t2﹣ （3t﹣2）2=﹣ t2+6 t﹣2

（4）

解：t= 或t=

提示：①當∠QRB=90°時，如圖⑤，

cos∠RQB= = ，

∴QB=2QR=2QA，

∴AB=3QA=6t=4，

∴t= ；

②當∠RQB=90°時，如圖⑥，

同理可得BC=3RC=3PC=3（4﹣2t）=4，

∴t=

【解析】（1）易證△APQ是等邊三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t；（2）過點A作AG⊥BC于點G，如圖②，易得點R運動的路程長是AG+CG，只需求出AG、CG就可解決問題；（3）四邊形APRQ與△ACD重疊部分圖形可能是菱形，也可能是五邊形，故需分情況討論，然后運用割補法就可解決問題；（4）由于直角頂點不確定，故需分情況討論，只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°兩種情況討論，即可解決問題．