Question

已知，如圖：在平面直角坐標系中，O是坐標原點，△ABC的三個頂點坐標分別是A（1，2），B（-3，0），C（3，0），直線AC與反比例函數y=在第一象限內的圖象相交于A，M兩點．
（1）求反比例函數y=的解析式；
（2）連接BM交AO于點N，求證：N是△ABC的重心；
（3）在直線AC上是否存在一點P使△BPO的周長L取得最小值？若存在，求出L的最小值并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題是一次函數和反比例函數以及三角形的重心、軸對稱相結合的一道綜合試題．要求反比例函數的解析式，而點A圖象上，將其坐標代入即可；要求點N是三角形的重心．由已知B、C的坐標可知O是BC的中點．只要求出M是AC的中點就可，可以求出AC的解析式，利用反比例函數和一次函數的解析式求出M點的坐標，過點A、M作x軸的垂線于D、C．求出D、C的坐標從而求出DC、EC的長，由相似得到M是AC的中點，得N是重心；利用軸對稱找到O點關于AC的對稱點O^|，作其x軸的垂線，連接CO^|，由三角函數求出∠ACD、∠ACO^|，的度數，求出O^|，的長度在加上BO的長度就是L的最小值．
解答：解：（滿分12分）（1）點A在y=的圖象上，∴2=k=2（2分）
∴y=

（2）設經過A、C的直線的表達式為y=k₁x+b由A（1，2），C（3，0），（4分）（各1分）
∴經過AC的直線的表達式為y=-x+3
∵直線AC與y=的圖象交點為M，且k=2，
∴直線y=-x+3與雙曲線y=在M點的縱坐標相等，
∴=-x+3，（5分）
解得：x=1或x=2，經檢驗都是原方程的根
∴A（1，2）和M（2，）（6分）
過A作垂線段AD⊥BC，垂足為D，則D（1，0）∴DC=2
過M作垂線段ME⊥BC，垂足為E，則E（2，0）∴EC=1
易證△CME∽△CAD，∴==，∴CM=CA，M是AC中點，BM是△ABC的中線
又B（-3，0），C（3，0），∴O是BC中點，AO是△ABC的中線，∴N是△ABC的重心（7分）

（3）過O作直線AC的對稱點O′，連接BO′交AC于P，
連接BP，PO，則△BPO周長最小．（9分）
證明：∵O和O′關于直線AC對稱，∴PO=PO′，∴BP+OP=BO′
在直線AC上任取異于P的點P′，連接BP′，OP′，P′O′，
則BP′+OP′=BP′+P′O′＞BO′，（10分）
∴BO′是BP+OP的最小值．又BO是定值，
∴此時△BPO周長L最小．
O、O′關于直線AC對稱，∴△CPO≌△CPO′
OC=CO′=3，又AD=2，DC=2，
∴tan∠ACD===，
∴∠ACD=60°，∴∠PCO'=∠ACD=60°，
∴CQ=1.5，QO′=
又BQ=BC+CQ=6+=7
∴
∴最小值L=（12分）
點評：本題是一道綜合性較強，難度較大的綜合題目，解答中要注意運用數形結合的思想，利用解析式求交點坐標，運用軸對稱知識，三角形的相似和全等以及解直角三角形的知識．解答中將圖形和數值結合．