Question

小明遇到這樣一個問題：“如圖1，在邊長為a（a＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積．”
分析時，小明發現，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于 點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）
請回答：
（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個正方形（無縫隙不重疊），則這個正方形的邊長為_______
（2）求正方形MNPQ的面積．
（3）參考小明思 考問題的方法，解決問題：
如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S△RPQ=，則AD的長為_______．

Answer 1

(1) a；（2）2；(3) .

試題分析：(1)四個等腰直角三角形的斜邊長為a，其拼成的正方形的面積為a²；
（2）如圖2所示，正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和，據此求出正方形MNPQ的面積；
（3）參照小明的鑰匙思路，對問題作同樣的等積變形，即可求解問題.
(1) a
(2)∵四個等腰直角三角形△RQF，△SMG，△TNH，△WPE的面積和為a²，正方形ABCD的面積為a²，
∴S_{正方形MNPQ}=S_△ARE+S_△DWH+S_△GCT+S_△SBF=4S_△ARE=4××1²=2；
(3) 
如答圖1所示，分別延長RD，QF，PE，
交FA，EC，DB的延長線于點S，T，W．

由題意易得：△RSF，△QET，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等于△ABC的邊長．
所以△RSF，△QET，△PDW的面積等于△ABC的面積。
由此可得：S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
過點A作AN⊥SD于點N，設AD=AS=x，
則AN=AD•sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
∴S_△ADS=SD•AN=•x•x=x²．
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴=3×x²，得x²=，
解得x=或x=?（不合題意，舍去）
∴x=，即AD的長為。
考點: 四邊形綜合題.