Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點M（m，n）是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側，并且不在坐標軸上，過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；
（2）當S_△MFQ：S_△MEB=1：3時，求點M的坐標．

Answer 1

（1）y=﹣x²+x+2，頂點坐標為（，）；（2）（1，3）或（﹣12，﹣88）．

試題分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式得到關于a、b、c的三元一次方程組，然后求解即可，再把函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；
（2）根據點M的坐標表示出點Q、E的坐標，再設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出一次函數解析式，再求出點F的坐標，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面積，然后列出方程并根據m的取值范圍整理并求解得到m的值，再根據點M在拋物線上求出n的值，然后寫出點M的坐標即可．
試題解析：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴y=﹣x²+x+2，
∵y=﹣x²+x+2=﹣（x²﹣3x+）++2=﹣（x﹣）²+，
∴頂點坐標為（，）；
（2）∵M（m，n），
∴Q（0，n），E（3﹣m，n），
設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），
把B（4，0），M（m，n）代入得，
解得，
∴，
令x=0，則y=，
∴點F的坐標為（0，），
∴MQ=|m|，FQ=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，
∴S_△MFQ=MQ•FQ=|m|•||=||，
S_△MEB=ME•|n|=•|3﹣2m|•|n|，
∵S_△MFQ：S_△MEB=1：3，
∴||×3=•|3﹣2m|•|n|，
即||=|3﹣2m|，
∵點M（m，n）在對稱軸左側，
∴m＜，
∴=3﹣2m，
整理得，m²+11m﹣12=0，
解得m₁=1，m₂=﹣12，
當m₁=1時，n₁=﹣×12+×1+2=3，
當m₂=﹣12時，n₂=﹣×（﹣12）²+×（﹣12）+2=﹣88，
∴點M的坐標為（1，3）或（﹣12，﹣88）．