Question

【題目】建立模型：

如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，頂點C在直線l上．

操作：

過點A作AD⊥l于點D，過點B作BE⊥l于點E．求證：△CAD≌△BCE．

模型應用：

（1）如圖2，在直角坐標系中，直線l1：y=x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，將直線l1繞著點A順時針旋轉45°得到l2．求l2的函數表達式．

（2）如圖3，在直角坐標系中，點B（8，6），作BA⊥y軸于點A，作BC⊥x軸于點C，P是線段BC上的一個動點，點Q（a，2a﹣6）位于第一象限內．問點A、P、Q能否構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若能，請求出此時a的值，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4；（2）a的值為或4．

【解析】

試題分析：操作：根據余角的性質，可得∠ACD=∠CBE，根據全等三角形的判定，可得答案；

應用（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B點坐標，根據全等三角形的判定與性質，可得CD，BD的長，根據待定系數法，可得AC的解析式；

（2）根據全等三角形的性質，可得關于a的方程，根據解方程，可得答案．

解：操作：如圖1：

，

∵∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

在△ACD和△CBE中，

∴△CAD≌△BCE（AAS）；

（1）∵直線y=x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，

∴A（0，4）、B（﹣3，0）．

如圖2：

，

過點B做BC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸

在△BDC和△AOB中，

，

△BDC≌△AOB（AAS），

∴CD=BO=3，BD=AO=4．OD=OB+BD=3+4=7，

∴C點坐標為（﹣7，3）．

設l2的解析式為y=kx+b，將A，C點坐標代入，得

，

解得

l2的函數表達式為y=x+4；

（2）由題意可知，點Q是直線y=2x﹣6上一點．

如圖3：

，

過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F．

在△AQE和△QPF中，

，

∴△AQE≌△QPF（AAS），

AE=QF，即6﹣（2a﹣6）=8﹣a，

解得a=4

如圖4：

，

過點Q作EF⊥y軸，分別交y軸和直線BC于點E、F，

AE=2a﹣12，FQ=8﹣a．

在△AQE和△QPF中，

，

△AQE≌△QPF（AAS），

AE=QF，即2a﹣12=8﹣a，

解得a=；

綜上所述：A、P、Q可以構成以點Q為直角頂點的等腰直角三角形，a的值為或4．