Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x+1與拋物線y=ax2+bx﹣3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B點重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）設(shè)點P的橫坐標為m；
①用含有m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．

由 x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．

∵y=ax2+bx﹣3經(jīng)過A、B兩點，

∴

∴ ，

則拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣3，

設(shè)直線AB與y軸交于點E，則E（0，1）．

∵PC∥y軸，

∴∠ACP=∠AEO．

∴sin∠ACP=sin∠AEO= = =

（2）

解：①由（1）知，拋物線的解析式為y= x2﹣ x﹣3．則點P（m， m2﹣ m﹣3）．

已知直線AB：y= x+1，則點C（m， m+1）．

∴PC= m+1﹣（ m2﹣ m﹣3）=﹣ m2+m+4=﹣ （m﹣1）2+

Rt△PCD中，PD=PCsin∠ACP=[﹣ （m﹣1）2+ ] =﹣ （m﹣1）2+

∴PD長的最大值為： ．

②如圖，分別過點D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G．

∵sin∠ACP= ，

∴cos∠ACP= ，

又∵∠FDP=∠ACP

∴cos∠FDP= = ，

在Rt△PDF中，DF= PD=﹣ （m2﹣2m﹣8）．

又∵BG=4﹣m，

∴ = = = = ．

當 = = 時，解得m= ；

當 = = 時，解得m= ．

【解析】（1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定a、b的值；若設(shè)直線AB與y軸的交點為E，E點坐標易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，則∠ACP的正弦值可得．（2）①已知P點橫坐標，根據(jù)直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標，由此得到線段PC的長；在Rt△PCD中，根據(jù)（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達式，再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出PD長的最大值．②在表達△PCD、△PBC的面積時，若都以PC為底，那么它們的面積比等于PC邊上的高的比．分別過B、D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達式，然后根據(jù)題干給出的面積比例關(guān)系求出m的值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．