Question

【題目】（12分）如圖，△ABC中，分別延長△ABC的邊AB、AC到D、E，∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，愛動腦筋的小明在寫作業的時發現如下規律：

（1）若∠A＝50°，則∠P＝ °；

（2）若∠A＝90°，則∠P＝ °；

（3）若∠A＝100°，則∠P＝ °；

（4）請你用數學表達式歸納∠A與∠P的關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，

又∵∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，

∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，

∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）=115°，

∴∠P=65°．

同理得：（2）45°；

（3）40°

（4）∠P=90°-∠A．理由如下：

∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，

∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP

又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，

∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，

∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，

∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A

又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，

∴∠P=90°-∠A．

【解析】試題分析：（1）若∠A=50°，則有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°-130°=230°，根據角平分線的定義可以求得∠PBC+∠PCB的度數，再利用三角形的內角和定理即可求得∠P的度數；

（2）、（3）和（1）的解題步驟類似；（4）利用角平分線的性質和三角形的外角性質可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形內角和定理即可求出∠A與∠P的關系．