Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，點E為直線AC上一點，D為直線BC上的一點，且DA=DE． 當點D在線段BC上時，如圖①，易證：BD+AB=AE；
當點D在線段CB的延長線上時，如圖②、圖③，猜想線段BD，AB和AE之間又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】解；如圖②中，
結論：BD+AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等邊三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，
∴∠DAB=∠EDM，
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB=EM=CM，
∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．
如圖③中，

結論：BD﹣AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等邊三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，
∴∠ADB=∠DEM，
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DME，
∴DB=EM=CM，
∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．
【解析】圖②中，論：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先證明△EMC是等邊三角形得CE=CM，AE=BM，再證明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以對稱結論．圖③中，結論：BD﹣AE=AB，證明方法類似．