Question

【題目】已知二次函數y=x2+2bx+c（b、c為常數）．

（Ⅰ）當b=1，c=﹣3時，求二次函數在﹣2≤x≤2上的最小值；

（Ⅱ）當c=3時，求二次函數在0≤x≤4上的最小值；

（Ⅲ）當c=4b2時，若在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為21，求此時二次函數的解析式．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）﹣4（Ⅱ）①3，②﹣b2+3；③8b+19（Ⅲ）①y=x2+x+7，②b=﹣（舍）或b=（舍）③b=或b=﹣2，此時二次函數的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

【解析】（Ⅰ）把b=2，c=﹣3代入函數解析式，求二次函數的最小值；

（Ⅱ）根據當c=5時，若在函數值y=l的情況下，只有一個自變量x的值與其對應，得到x2+bx+5=1有兩個相等是實數根，求此時二次函數的解析式；

（Ⅲ）當c=b2時，寫出解析式，分三種情況減小討論即可．

解：（Ⅰ）當b=1，c=﹣3時，二次函數解析式為y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴x=﹣1在﹣2≤x≤2的范圍內，此時函數取得最小值為﹣4，

（Ⅱ）y=x2+2bx+3，的對稱軸為x=﹣b，

①若﹣b＜0，即b＞0時，當x=0時，y有最小值為3，

②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0時，當x=﹣b時，y有最小值﹣b2+3；

③若﹣b＞4，即b＜﹣4時，當x=﹣4時，y有最小值為8b+19，

（Ⅲ）當c=4b2時，二次函數的解析式為y=x2+2bx+4b2，它的開口向上，對稱軸為x=﹣b的拋物線，

①若﹣b＜2b，即b＞0時，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對應的函數值y隨x增大而增大，

∴當x=2b時，y=（2b）2+2b×2b+（2b）2=12b2為最小值，

∴12b2=21，∴b=或b=﹣（舍）∴二次函數的解析式為y=x2+x+7，

②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，

當x=﹣b時，代入y=x2+2bx+4b2，得y最小值為3b2，

∴3b2=21∴b=﹣（舍）或b=（舍），

③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自變量x的值滿足2b≤x≤2b+3的情況下，與其對應的函數值y隨x增大而減小，

∴當x=2b+3時，代入二次函數的解析式為y=x2+2bx+4b2中，得y最小值為12b2+18b+9，

∴12b2+18b+9=21，∴b=﹣2或b=（舍），∴二次函數的解析式為y=x2﹣4x+16．

綜上所述，b=或b=﹣2，此時二次函數的解析式為y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16

“點睛”本題考查了二次函數的最值：當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當x=﹣時，y=；當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當x=﹣時，y=；確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．