Question

如圖，矩形ABCD中， AB=4，BC=2，點P是射線DA上的一動點，DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與射線DC交于點F．

（1）若點P在邊DA上（與點D、點A不重合）．
①求證：△DEF∽△CEB；
②設AP=x，DF=y，求與的函數關系式，并寫出的取值范圍；
（2）當△EFC與△BEC面積之比為3︰16時，線段AP的長為多少?（直接寫出答案，不必說明理由）．

Answer 1

（1）①通過證明∠DPE=∠CDE，∠DEF=∠CEB得△DEF∽△CEB．②的取值范圍為0＜＜2 （2）或或

試題分析：（1）①證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°． 
∵DE⊥CP，∴∠DEP=∠DEC =90°，∴∠PDE+∠DPE=90°，
∴∠DPE=∠CDE． 
∵∠ECB=∠DPE，∴∠ECB=∠EDF   
∵∠DEC =90°，∴∠DEF+∠FEC=90°．
∵EF⊥BE，∴∠CEB+∠FEC=90°，
∴∠DEF=∠CEB，  
∴△DEF∽△CEB．  
②解：∵△DEF∽△CEB，∴．   
∵DF=y，BC=2，AP=x， AB=4，
∴，DP=，CD=4． 
由∠PDC=90°，DE⊥CP，易證△DPC∽△EDC，
∴，∴，∴
的取值范圍為0＜＜2． 
（2）當△EFC與△BEC面積之比為3︰16時，根據題意解得
AP長為或或．
點評：本題考查矩形，相似三角形，解答本題需要考生掌握矩形的性質，熟悉相似三角形的判定方法，會證明兩個三角形相似