Question

【題目】如圖1，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），O為坐標原點．點D是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點D作DE∥x軸交直線BC于點E．點P為∠CAB角平分線上的一動點，過點P作PQ⊥BC于點H，交x軸于點Q；點F是直線BC上的一個動點．

（1）當線段DE的長度最大時，求DF+FQ+PQ的最小值．

（2）如圖2，將△BOC沿BC邊所在直線翻折，得到△BOC′，點M為直線BO′上一動點，將△AOC繞點O順時針旋轉α度（0°＜α＜180°）得到△A′OC′，當直線A′C′，直線BO′，直線OM圍成的圖形是等腰直角三角形時，直接寫出該等腰直角三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）圍成的三角形面積為：．

【解析】

（1）求出點A、B、C的坐標得AC長度與直線BC解析式，設D（a，），知E（）、DE＝a﹣，然后求出a其最大值，即可求出DE的最大值，此時可求出D的坐標．再證AQ＝PQ，得＝，將射線AB繞A順時針旋轉30°得到直線AM，過點D作AM的垂線于點M，交x軸于點Q′，則．當Q運動到Q′時，有＝DM，過D作DN⊥x軸于點N，可得△AQ′M與△DQ′N相似，然后求出各個線段的長即可；

（2）分六種情況進行討論，然后求出每一種情況下利用切線的性質、直角三角形的性質求出等腰直角三角形的腰長，利用直角三角形的性質可得答案．

（1）如圖1，

當x＝0時，y＝3．

當y＝0時，．

∴，，

∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且

設D（a，），則E（）

∴DE＝a﹣

∴當a＝﹣時，DE最大．此時D（）

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB＝∠CAB＝30°，

∵PQ⊥BC，

∴∠PQB＝60°，

∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，

∵PQ⊥BC，

∴PQB＝60°，

∴AQ＝PQ，

∴＝，

將射線AB繞A順時針旋轉30°得到直線AM，過點D作AM的垂線于點M，交x軸于點Q′，則．

當Q運動到Q′時，有＝DM，

過D作DN⊥x軸于點N，可得△AQ′M與△DQ′N相似，

DN＝Dy＝，AN＝

∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝

∴Q′M＝，

∴DM＝DQ′+Q′M＝

＝DM＝．

（2）第一種情況：如圖2，

NH＝r＝，QH＝＝，OQ＝2r＝3，

QN＝QH﹣NH＝，QB＝3，QP＝，

PN＝PQ﹣QN＝6，S1＝18．

第二種情況，如圖3，

QH＝，HN＝r＝，

QB＝3+3，QP＝，

PN＝PQ﹣QH﹣HN＝3，；

第三種情況，如圖4，

ON＝，OM＝，

MQ＝OM﹣r＝，

第四種情況，如圖5，

OB＝，OM＝，ON＝，MN＝OM﹣0N＝，

．

第五種情況，如圖6，

MN＝BN＝OBsin15°＝

ON＝OBcos15°＝，

OM＝ON+MN＝，HM＝OM﹣r＝，

；

第六種情況，如圖7，

OM＝，ON＝，MN＝OM﹣ON＝，

；

綜上所述，圍成的三角形面積為：；．