Question

【題目】已知⊙O中，AC為直徑，MA、MB分別切⊙O于點A、B．

（Ⅰ）如圖①，若∠BAC=250，求∠AMB的大小；

（Ⅱ）如圖②，過點B作BD⊥AC于點E，交⊙O于點D，若BD=MA，求∠AMB的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）50°（Ⅱ）60°

【解析】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于點A，∴∠MAC=90°。

又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°。

∵MA、MB分別切⊙O于點A、B，∴MA=MB。

∴∠MAB=∠MBA。

∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°。

（Ⅱ）如圖，連接AD、AB，

∵MA⊥AC，又BD⊥AC，

∴BD∥MA。

又∵BD=MA，∴四邊形MADB是平行四邊形。

又∵MA=MB，∴四邊形MADB是菱形。∴AD=BD。

又∵AC為直徑，AC⊥BD，

∴ AB = AD 。

∴AB=AD=BD。∴△ABD是等邊三角形。∴∠D=60°。

∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°

（Ⅰ）由AM與圓O相切，根據切線的性質得到AM垂直于AC，可得出∠MAC為直角，再由∠BAC的度數，用∠MAC－∠BAC求出∠MAB的度數，又MA，MB為圓O的切線，根據切線長定理得到MA=MB，利用等邊對等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度數，利用三角形的內角和定理即可求出∠AMB的度數。

（Ⅱ）連接AB，AD，由直徑AC垂直于弦BD，根據垂徑定理得到A為優弧BAD 的中點，根據等弧對等弦可得出AB=AD，由AM為圓O的切線，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根據垂直于同一條直線的兩直線平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ADBM為平行四邊形，再由鄰邊MA=MB，得到ADBM為菱形，根據菱形的鄰邊相等可得出BD=AD，進而得到AB=AD=BD，即△ABD為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠D為60°，再利用菱形的對角相等可得出∠AMB=∠D=60°。