Question

【題目】如圖1，矩形OABC的兩條邊OA、OC分別在y軸和x軸上，已知點A（0，3）、點C（－4，0）．

（1）若把矩形OABC沿直線DE折疊，使點C落在點A處，直線DE與OC、AC、AB的交點分別為D、F、E，求折痕DE的長；

（2）若點P在x軸上，在平面內是否存在點Q，使以P、D、E、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，則請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若M為AC邊上的一動點，在OA上取一點N（0，1），將矩形OABC繞點O順時針旋轉一周，在旋轉的過程中，M的對應點為M1，請直接寫出NM1的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當DE是菱形的對角線時，Q1（0，3），當DE是菱形的邊時，Q2（，3），Q3（－，3），Q4（－，－3）；（3）最大值是5，最小值是．

【解析】

（1）由△DFC∽△AOC，求出DF，再證明EF=DF；
（2）分兩種情形分別討論即可：①DE為菱形的邊．②DE為菱形的對角線；
（3）由題意點M在如圖3中的圓環內或兩個圓上，利用圖象法即可解決問題；

解：（1）解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=90°．
∵OA=3，OC=4，
∴AC=5．
由折疊可得：

∵∠FCD=∠OCA，∠DFC=∠AOC=90°，
∴△DFC∽△AOC．

∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠EAF=∠DCF
∴△AFE≌△CFD（ASA）．
∴EF=DF．

∴折痕DE的長為

（2）如下圖，由（1）可知，

當DE為菱形的邊時，，可得；

當DE為菱形的對角線時，P與C重合，Q與A重合，Q2（0，3），

當點Q在第四象限，E與Q關于x軸對稱，

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為或或（0，3）或；

（3）如圖3中，作OH⊥AC，則

觀察圖形可知，MN的最小值=OM-ON ；

MN的最大值=NM′=ON+OM′=1+4=5