Question

已知二次函數的圖象如圖.

（1）求它的對稱軸與軸交點D的坐標；

（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線與軸，軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；

（3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由.

 

Answer 1

解: （1）由得  

∴Ｄ（3，0）

 

（2）方法一:

如圖1, 設平移后的拋物線的解析式為

  

則C   OC=

令   即 

得     

∴A，B

∴

∵

即:

得     (舍去)

∴拋物線的解析式為

方法二:

∵  

∴頂點坐標

設拋物線向上平移h個單位

則得到,頂點坐標    

∴平移后的拋物線:

當時,

  

∴ A   B  

∵∠ACB=90°   ∴△AOC∽△COB

∴OA·OB

   

解得 , …………7分

∴平移后的拋物線:

（3）方法一:

如圖2, 由拋物線的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M

過C、M作直線，連結CD，過M作MH垂直y軸于H

則 

∴ 

在Rt△COD中,CD==AD  

∴點C在⊙D上          ∵

 

∴

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM

∴直線CM與⊙D相切 

方法二:

如圖3, 由拋物線的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M 

作直線CM,過D作DE⊥CM于E, 過M作MH垂直y軸于H

則,

由勾股定理得

∵DM∥OC          

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME         

∴    得   

由(2)知

∴⊙D的半徑為5 

∴直線CM與⊙D相切