Question

【題目】閱讀：如圖1，在△ABC中，BE是AC邊上的中線， D是BC邊上的一點，CD：BD=1：2，AD與BE相交于點P，求的值．小昊發現，過點A作AF∥BC，交BE的延長線于點F，通過構造△AEF，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．

（1）的值為 ；

（2）參考小昊思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P，DC：BC：AC=1：2：3 ．

求的值；

若CD=2，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②6．

【解析】試題分析：（1）根據輔助線的作法可得△AEF≌△CEB，△AFP∽△DBP，然后利用它們的性質可得=;（2）①過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，可得△AEF≌△CEB，△AFP∽△DBP，然后利用它們的性質可得=；②根據條件DC：BC：AC=1：2：3 ，CD=2，得出BC， AC，CE，AE的長，由勾股定理可得EF的長，再利用△AFP∽△DBP的性質可求出BP的長．

試題解析：（1）的值為．

（2）①過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，

∵DC︰BC＝1︰2，

∴BC＝2k．

∴DB＝DC＋BC＝3k．

∵E是AC中點，

∴AE＝CE．

∵AF∥DB，

∴∠F＝∠1．

又∵∠2＝∠3，

∴△AEF≌△CEB．

∴AF＝BC＝2k．

∵AF∥DB，

∴△AFP∽△DBP．

∴．

∴=．

②∵DC：BC：AC=1：2：3 ，CD=2，∴BC=4 AC=6

∴CE=AE=AC =3

∴ 由勾股定理可得：EF=5，∴BF=10

∵=,△AFP∽△DBP,

∴

∴BP=6