Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其對稱軸為直線．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）把線段沿軸向右平移，設平移后、的對應點分別為、，當落在拋物線上時，求、的坐標；

（3）除（2）中的平行四邊形外，在軸和拋物線上是否還分別存在點、，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出、的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），；，；，

【解析】

（1）先求得B點的坐標，然后根據待定系數法交點拋物線的解析式；
（2）根據平移性質及拋物線的對稱性，求出A′、C′的坐標；
（3）以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，可能存在3種滿足條件的情形，需要分類討論，避免漏解．

解：（1）∵A（-2，0），對稱軸為直線x=1．
∴B（4，0），
把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線的表達式為：
，
解得： ，
∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+4；
（2）由拋物線y=-x2+x+4可知C（0，4），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，根據對稱性，
∴C′（2，4），
∴A′（0，0）．
（3）存在．
設F（x，-x2+x+4）．
以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，
①若AC為平行四邊形的邊，如答圖1-1所示，則EF∥AC且EF=AC．

過點F1作F1D⊥x軸于點D，則易證Rt△AOC≌Rt△E1DF1，
∴DE1=2，DF1=4．
∴-x2+x+4=-4，
解得：x1=1+，x2=1-．
∴F1（1+，-4），F2（1-，-4）；
∴E1（3+，0），E2（3-，0）．
②若AC為平行四邊形的對角線，如答圖1-2所示．
∵點E3在x軸上，∴CF3∥x軸，
∴點C為點F關于x=1的對稱點，
∴F3（2，4），CF3=2．
∴AE3=2，
∴E3（-4，0），
綜上所述，存在點E、F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形；
點E、F的坐標為：，；，；，