Question

3．已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=$\frac{1}{4}$x相交于A、B兩點，第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線的動點，過點B作BD∥于y軸于點D，過N（-，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C．若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，則直線CM的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據一次函數和反比例函數的性質及點的坐標和解析式的關系解答．

解答 解：設B點坐標為（x₁，-$\frac{n}{2}$），代入y=$\frac{1}{4}$x得，-$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{4}$x₁，x₁=-2n；
∴B點坐標為（-2n，-$\frac{n}{2}$）．
因為BD∥y軸，所以C點坐標為（-2n，-n）．
因為四邊形ODCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為$\frac{k}{2}$，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4---①；
又因為2n•$\frac{n}{2}$=k，即n²=k---②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=$\frac{4}{x}$；
又因為n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y=$\frac{4}{x}$，得m=2．故M點坐標為（2，2）；C（-4，-2）；
設直線CM解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{-4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴一次函數解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
故答案為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

點評 此題主要考查了待定系數法函數解析式以及一次函數與反比例函數交點的性質，根據四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關鍵．