Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖：

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；

第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；

第三步：如圖③，將MN左側紙片繞G點按順時針旋轉180，使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉180，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片（裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）則拼成的這個四邊形紙片的周長的最大值為___cm．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先確定剪拼之后的四邊形是個平行四邊形，其周長大小取決于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置關系，得到其長度的最大值與最大值，從而問題解決．

解：畫出第三步剪拼之后的四邊形M1N1N2M2的示意圖，如答圖1所示．

圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，

M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理），

又∵M1M2∥N1N2，

∴四邊形M1N1N2M2是一個平行四邊形，

其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．

∵BC=6為定值，

∴四邊形的周長取決于MN的大小．

如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖，

過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半，

∵M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，

根據垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；

而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即

，

四邊形M1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN，

∴最大值為12+2×=12+．

故答案為：12+．