Question

已知二次函數y=x²-x+c．
（1）若點A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，求此二次函數的最小值；
（2）若點D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、P（m，m）（m＞0）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，且D、E兩點關于坐標原點成中心對稱，連接OP．當2

2

≤OP≤2+

2

時，試判斷直線DE與拋物線y=x²-x+c+

3

8

的交點個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A，B的坐標代入拋物線的解析式中，可得出關于n、c兩個未知數的二元一次方程組，可求出n、c的值，進而可得出拋物線的解析式．根據拋物線的解析式可用公式法或配方法求出函數的最小值．
（2）求直線DE與拋物線有幾個交點，可聯立兩函數的解析式，得出一個二元一次方程，然后根據△的不同取值范圍，來判斷交點的個數．因此關鍵是求出DE所在直線的解析式．可設DE的解析式為y=kx，那么根據直線與二次函數y=x²-x+c交于D、E兩點，可聯立兩式得出一個關于x的二元一次方程，由于兩根互為相反數，因此-

b

2a

=0，可求出k的值，即可確定出直線DE的解析式．已知了OP的取值范圍，由于OP=

2

m（根據P的坐標即可求出）．因此可得出m的取值范圍．然后將P點坐標代入拋物線y=x²-x+c中即可得出c的取值范圍．
然后可聯立y=-x與y=x²-x+c+

3

8

，可得出一個二元一次方程，根據△的不同取值范圍以及求出的c的取值范圍即可判定出兩函數的交點個數．

解答：解：
（1）由題意得

n=2+c 2n-1=2+c

解得

n=1 c=-1

∴二次函數y=x²-x-1的最小值是-

5

4

．

（2）解：∵點P（m，m）（m＞0），
∴PO=

2

m．
∴2

2

≤

2

m≤

2

+2．
∴2≤m≤1+

2

．
∵2≤m≤1+

2

，
∴1≤m-1≤

2

．
∴1≤（m-1）²≤2．
∵點P（m，m）（m＞0）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，
∴m=m²-m+c，即1-c=（m-1）²．
∴1≤1-c≤2．
∴-1≤c≤0．
∵點x₁，x₂關于原點對稱．
設直線DE：y=kx．
則根據題意有kx=x²-x+c，
即x²-（k+1）x+c=0．
∵-1≤c≤0，
∴（k+1）²-4c≥0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有實數根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x．
若

y=-x y=x2-x+c+ 3 8

則有x²+c+

3

8

=0．即x²=-c-

3

8

．
當-c-

3

8

=0時，
即c=-

3

8

時，方程x²=-c-

3

8

有相同的實數根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有唯一交點．
②當-c-

3

8

＞0時，
即c＜-

3

8

時，即-1≤c＜-

3

8

時，
方程x²=-c-

3

8

有兩個不同實數根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有兩個不同的交點．
③當-c-

3

8

＜0時，即c＞-

3

8

時，即-

3

8

＜c≤0時，
方程x²=-c-

3

8

沒有實數根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

沒有交點．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式以及函數交點的求法等重要知識點，（2）中根據已知條件求出直線DE的解析式是解題的關鍵．