Question

【題目】解答
（1）如圖，在直線m的同側有A，B兩點，在直線m上找點P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大（保留作圖痕跡）

（2）平面直角坐標系內有兩點A（2，3），B（4，5），請分別在x軸，y軸上找點P，Q，使PA+PB最小，|QB﹣QA|最大，則點P，Q的坐標分別為 ，
（3）代數式 + 的最小值是 ， 此時x=
（4）代數式 ﹣ 的最大值是 ， 此時x= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①作點A關于直線m的對稱點A′，連接A′B與直線m交于點P，此時PA+PB最小，點P如圖所示．

②延長BA交直線m于Q，此時，|QB﹣QA|最大，點Q如圖所示．

（2）（ ，0）；（0，1）
（3）10；
（4）2；﹣1
【解析】解（2）點A關于x軸的對稱點A′（2，﹣3），
直線A′B的解析式為y=4x﹣11，y=0時，x= ，
所以點P坐標（ ，0）．
直線AB解析式為y=x+1，與y軸的交點為（0，1），
所以點Q坐標（0，1）．
所以答案是（ ，0），（0，1）
3）∵ + = + ，
欲求 + 的最小值，
可以看作在x軸上找一點P，使得點P到（4，5），（2，3）的距離之和最小，
由（2）可知x= ，最小值= =10，
所以答案是10， ．
4）∵ ﹣ ═ ﹣ ，
欲求 ﹣ 的最大值，
可以看作在x軸上找一點Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距離之和最大，
∵直線AB解析式為y=x+1，與x軸交于點Q（﹣1，0），
∴x=﹣1時，此時最大值=2 ．
所以答案是2 ，﹣1．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解軸對稱-最短路線問題的相關知識，掌握已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．