Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC邊于G，AG的中垂線與CB的延長線交于E，與AB、AC、DC分別交于點M，N，F，下列結論：①tan∠E=，②△AGC≌△EMG，③四邊形AMGN是菱形，④S△CFN=S四邊形AMGN，其中正確的是______（填序號）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC邊于G，可得∠BAG=∠CAG=∠BAC=22.5°，∠AGB=67.5°，因為AG的中垂線與CB的延長線交于E，可得AM=MG，AN=NG，∠E=22.5°，即可判斷①錯誤，證明AM=AN，可得AM=GM=NG=AN，即四邊形AMGN是菱形，可判斷③正確；用“角角邊”可證明△AGC≌△EMG，可判斷②正確；證明意△AMN∽△CFN，可得S△CFN=2S△AMN=S四邊形AMGN，可判斷④正確．

解：∵在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC邊于G，

∴∠BAG=∠CAG=∠BAC=22.5°，

∵∠ABC=90°，

∴∠AGB=90°-22.5°=67.5°，

∵AG的中垂線與CB的延長線交于E，

∴AM=MG，AN=NG，∠E=90°-∠AGB=22.5°，

∴tan∠E=錯誤，即①錯誤；

∵∠AMN=∠ANM=90°-22.5°=67.5°，

∴AM=AN，

∴AM=GM=NG=AN，

∴四邊形AMGN是菱形，即③正確；

∵四邊形AMGN是菱形，

∴MG∥AC，AB∥NG，

∴∠ACG=∠MGE=45°，∠NGC=∠ABC=90°，

∴GC=GN=GM，

∵∠GAC=∠E=22.5°，

∴△AGC≌△EMG（AAS），即②正確；

由題意△AMN∽△CFN，

∴，

∴S△CFN=2S△AMN=S四邊形AMGN，即④正確．

故答案為：②③④．