Question

【題目】閱讀下面材料：

小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1，他發現一個有趣的問題：對于圖中出現的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構造垂直，進而求出它們相交所成銳角的正切值．

請回答：

（1）如圖1，A，B，C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，作出線段CD，使得CD⊥AB；

（2）如圖2，線段AB與CD交于點O．為了求出∠AOD的正切值，小明在點陣中找到了點E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點F，再作出點陣中的其它線段，就可以構造相似三角形，經過推理和計算能夠使問題得到解決.

請你幫小明計算：OC=　 　；tan∠AOD=　 　；

解決問題：

如圖3，計算：tan∠AOD=　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；5；解決問題：.

【解析】

（1）用三角板過C作AB的垂線，從而找到D的位置；
（2）連接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的長，由等腰直角三角形的性質可以求出AF，DF的長，從而求出OF的長，在Rt△AFO中，根據銳角三角函數的定義即可求出tan∠AOD的值；
（3）如圖，連接AE、BF，則AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．

解：（1）如圖所示：

線段CD即為所求．

（2）如圖2所示連接AC、DB、AD．

∵AD=DE=2，

∴AE=2．

∵CD⊥AE，

∴DF=AF=．

∵AC∥BD，

∴△ACO∽△DBO．

∴CO：DO=2：3．

∴CO=．

∴DO=．

∴OF=．

tan∠AOD== 5．

解決問題：如圖3所示：

根據圖形可知：BF=2，AE=5．

由勾股定理可知：AF==，AB==．

∵FB∥AE，

∴△AOE∽△BOF．

∴AO：OB=AE：FB=5：2．

∴AO=．

在Rt△AOF中，OF==．

∴tan∠AOD=．