Question

【題目】在平面直角坐標系中，函數圖象上點的橫坐標與其縱坐標的和稱為點的“坐標和”，而圖象上所有點的“坐標和”中的最小值稱為圖象的“智慧數”．如圖：拋物線上有一點，則點的“坐標和”為6，當時，該拋物線的“智慧數”為0．

（1）點在函數的圖象上，點的“坐標和”是 ；

（2）求直線的“智慧數”；

（3）若拋物線的頂點橫、縱坐標的和是2，求該拋物線的“智慧數”；

（4）設拋物線頂點的橫坐標為，且該拋物線的頂點在一次函數的圖象上；當時，拋物線的“智慧數”是2，求該拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）直線“智慧數”等于；（3）拋物線的“智慧數”是；（4）拋物線的解析式為或

【解析】

（1）先求出點N的坐標，然后根據“坐標和”的定義計算即可；

（2）求出，然后根據一次函數的增減性和“智慧數”的定義計算即可；

（3）先求出拋物線的頂點坐標，即可列出關于b和c的等式，然后求出，然后利用二次函數求出y＋x的最小值即可得出結論；

（4）根據題意可設二次函數為，坐標和為，即可求出與x的二次函數關系式，求出與x的二次函數圖象的對稱軸，先根據已知條件求出m的取值范圍，然后根據與對稱軸的相對位置分類討論，分別求出的最小值列出方程即可求出結論．

解：（1）將y=2代入到解得x=2

∴點N的坐標為（2,2）

∴點的“坐標和”是2＋2=4

故答案為：4；

（2），

∵，

∴當時，最小，

即直線，“智慧數”等于

（3）拋物線的頂點坐標為，

∴，即

∵，

∴的最小值是

∴拋物線的“智慧數”是；

（4）∵二次函數的圖象的頂點在直線上，

∴設二次函數為，坐標和為

對稱軸

∵

∴

①當時，即時，“坐標和”隨的增大而增大

∴把代入，

得，

解得 (舍去)，，

當時，

②當，即時，

，即，

解得，

當時，

③當時，

∵，所以此情況不存在

綜上，拋物線的解析式為或