Question

已知矩形紙片OABC的長為4，寬為3，以長OA所在的直線為x軸，O為坐標原點建立平面直角坐標系；點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合），現將△POC沿PC翻折得到△PEC，再在AB邊上選取適當的點D，將△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得直線PE、PF重合．
（1）若點E落在BC邊上，如圖①，求點P、C、D的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；
（2）若點E落在矩形紙片OABC的內部，如圖②，設OP=x，AD=y，當x為何值時，y取得最大值？
（3）在（1）的情況下，過點P、C、D三點的拋物線上是否存在點Q，使△PDQ是以PD為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

（1）由題意知，△POC，△PAD均為等腰直角三角形，可得P（3，0），C（0，3），D（4，1），
設過此三點的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

c=3 9a+3b+c=0 16a+4b+c=1

，
∴

a= 1 2 b=- 5 2 c=3

，
∴過P、C、D三點的拋物線的函數關系式為y=

1

2

x²-

5

2

x+3．

（2）由已知PC平分∠OPE，PD平分∠APF，且PE、PF重合，則∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠APD=90°，又∠APD+∠ADP=90°，
∴∠OPC=∠ADP．
∴Rt△POC∽Rt△DAP．
∴

OP

AD

=

OC

AP

即

x

y

=

3

4-x

∵y=

1

3

x（4-x）
=-

1

3

x²+

4

3

x
=-

1

3

（x-2）²+

4

3

（0＜x＜4）
∴當x=2時，y有最大值

4

3

．

（3）假設存在，分兩種情況討論：
①當∠DPQ=90°時，由題意可知∠DPC=90°，且點C在拋物線上，
故點C與點Q重合，所求的點Q為（0，3）
②當∠QDP=90°時，過點D作平行于PC的直線DQ，假設直線DQ交拋物線于另-點Q，
∵點P（3，0），C（0，3），
∴直線PC的方程為y=-x+3，將直線PC向上平移2個單位與直線DQ重合，
∴直線DQ的方程為y=-x+5．
由

y=-x+5 y= 1 2 x2- 5 2 x+3

，
得

x=-1 y=6

或

x=4 y=1

．
又點D（4，1），∴Q（-1，6），故該拋物線上存在兩點Q（0，3），（-1，6）滿足條件．