Question

如圖，二次函數y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，2），矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內．
（1）求二次函數的解析式；
（2）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9？試證明你的結論．
（4）求出當x為何值時P有最大值？

Answer 1

（1）∵二次函數y=-mx²+4m的頂點坐標為（0，2），
∴4m=2，
即m=

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2

，所以次拋物線的解析式為：y=-

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2

x²+2．

（2）∵A點在x軸的負方向上坐標為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，
∴AD∥x軸，
又由拋物線關于y軸對稱，
所以D、C點關于y軸分別與A、B對稱．
所以AD的長為-2x，AB長為y，
所以周長p=2y-4x=2（-

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2

x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在x軸的負半軸上，
∴x＜0，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜0．

（3）不存在，
證明：假設存在這樣的p，即：
9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x無解，所以不存在這樣的p．

（4）由p=-（x+2）²+8，且-2＜x＜0．
故p沒有最大值．