Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O經過點E，且交BC于點F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若BF＝6，⊙O的半徑為5，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4

【解析】

（1）首先利用等腰三角形的性質和角平分線的定義得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，則有∠OEA＝∠ACB=90°，則結論可證．

（2）連接OE、OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，首先證明四邊形OHCE是矩形，則有，然后利用等腰三角形的性質求出BH的長度，再利用勾股定理即可求出OH的長度，則答案可求．

（1）證明：連接OE．

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB．

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC，

∴∠EBC＝∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA＝∠ACB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠OEA＝90°

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：連接OE、OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，

∵OH⊥BF，

．

∴四邊形OECH為矩形，

∴OH＝CE．

∵，BF＝6，

∴BH＝3．

在Rt△BHO中，OB＝5，

∴OH＝＝4，

∴CE＝4．