Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC+8，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使∠APM=∠B；
（1）求證：△ABP∽△PCM；
（2）設BP=x，CM=y，求y與x的函數解析式；
（3）當△APM為等腰三角形時，求PB的長．

Answer 1

分析 （1）利用三角形外角性質得∠APC=∠B+∠BAP，而∠APM=∠B，則可判斷∠BAP=∠CPM，加上∠B=∠C，于是可判斷△ABP∽△PCM；
（2）PC=8-x，利用△ABP∽△PCM得到x：y=5：（8-x），于是得到y與x的關系式；
（3）討論：當AP=AM時，則∠APM=∠AMC=∠B，而∠AMC＞∠C，不合題意舍去；當PA=PM時，易得△ABP≌△PCM，所以BP=CM，即x=y，所以-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=x，然后解方程可得到此時PB的長；
當MA=MP時，則∠APM=∠PAM，所以∠APM=∠B=∠C，于是可證明△MAP∽△ABC，利用相似比得到（6-y）：6=（8-x）：8，即4y=3x，加上（2）的結論得到4（-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x）=3x，然后解方程求出x即可得到PB的長．

解答 （1）證明：∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP，
而∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠CPM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCM；
（2）解：BP=x，則PC=8-x，
∵△ABP∽△PCM，
∴PB：CM=AB：PC，即x：y=5：（8-x），
∴y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x；
（3）解：當AP=AM時，則∠APM=∠AMC=∠B，而∠AMC＞∠C，不合題意舍去；
當PA=PM時，
∴△ABP≌△PCM，
∴BP=CM，即x=y，
∴-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x=x，解得x₁=0，x₂=3，此時PB的長為3；
當MA=MP時，
∴∠APM=∠PAM，
∵∠APM=∠B=∠C，
∴△MAP∽△ABC，PA=PC=8-x
∴MA：AB=PA：BC，即（6-y）：6=（8-x）：8，
∴4y=3x，
即4（-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x）=3x，
整理得4x²-17x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{17}{4}$，此時PB的長為$\frac{17}{4}$，
綜上所述，PB的長為3或$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在運用相似三角形的性質時，主要利用相似進行幾何計算．也考查了等腰三角形的判定．