Question

13、如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，根據現有的圖形，請添加一個條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個條件可以是

AE=AF或AC⊥EF或∠EAC=∠ECA

．（只要寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”或“線”）

Answer 1

分析：菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．根據平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形，由平行四邊形的性質知，對角線互相平分，又對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，可得：當AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形．

解答：證明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=EAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BF，
同理ED=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CE，
又∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，
則添加的一個條件可以是：AC⊥EF．
故答案為：AC⊥EF（或AE=AF或∠EAC=∠ECA）．

點評：本題考查了菱形的判定，利用角的平分線的性質和平行四邊形的性質求解．