Question

【題目】已知拋物線y=的圖像與軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點為B，與軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．

（1）求二次函數的解析式和點D的坐標；

（2）若點M是拋物線在軸下方圖像上的一動點，過點M作MN∥軸交線段BC于點N，當MN取最大值時，點M 的坐標；

（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點D落在x軸上，原拋物線上一點P平移后的對應點為Q，如果∠OQP=∠OPQ，試求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，頂點D（1，﹣4）；（2）點M的坐標為（，）；（3）Q（，2）或（，2）

【解析】

（1）把點A（-1，0），C（0，﹣3）代入解析式求解，然后化為頂點式即可；

（2）由（1）的解析式求出函數與x軸的交點坐標，即可得到B（3,0），根據已知條件求出直線BC的解析式，根據M在二次函數的圖像上，N在一次函數圖像上，可設兩個點的坐標為M ，N，可得MN ，得到關于m的方程，化為頂點式即可得到結果；

（3）先根據頂點在x軸上確定函數平移的距離，再根據∠OQP=∠OPQ得到OP=OQ，即可得到結果．

解：（1）∵拋物線y=經過A（-1，0），C（0，﹣3）;

得;

∴;

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3;

∴y=（x﹣1）2﹣4;

∴頂點D（1，﹣4）.

（2）∵y=x2﹣2x﹣3;

當 y=0時，x2﹣2x﹣3=0;

解得 ，;

∴B（3,0）.

設直線BC解析式為y=kx+b（k≠0）;

把B（3，0）、C（0，-3）代入y=kx+b;

可得;

解得：;

∴直線BC解析式為;

設M ，N;

∴MN

;

∴當MN最大時，點M的坐標為（，）．

（3）由（1）可得拋物線頂點坐標D（1，﹣4），根據題意可得拋物線向上平移4個單位長度;

∵點P在原拋物線y=x2﹣2x﹣3上;

∴設P（x, x2﹣2x﹣3）,則Q(x, x2﹣2x+1);

∵∠OQP=∠OPQ;

∴OP=OQ;

∴得到或;

∴Q（，2）或（，2）．