Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．

求證：△CDA≌△BEC．

（模型運用）

（2）如圖2，直線l1：y＝x+4與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉90°至直線l2，求直線l2的函數表達式．

（模型遷移）

如圖3，直線l經過坐標原點O，且與x軸正半軸的夾角為30°，點A在直線l上，點P為x軸上一動點，連接AP，將線段AP繞點P順時針旋轉30°得到BP，過點B的直線BC交x軸于點C，∠OCB＝30°，點B到x軸的距離為2，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）點P坐標為（4，0）或（﹣4，0）

【解析】

（1）由“AAS”可證△CDA≌△BEC；

（2）如圖2，在l2上取D點，使AD＝AB，過D點作DE⊥OA，垂足為E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求點D坐標，由待定系數法可求解析式；

（3）分兩種情況討論，通過證明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求點P坐標．

（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠D＝∠E＝90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

又CA＝BC，∠D＝∠E＝90°

∴△CDA≌△BEC（AAS）

（2）如圖2，在l2上取D點，使AD＝AB，過D點作DE⊥OA，垂足為E

∵直線y＝x+4與坐標軸交于點A、B，

∴A（﹣3，0），B（0，4），

∴OA＝3，OB＝4，

由（1）得△BOA≌△AED，

∴DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，

∴OE＝7，

∴D（﹣7，3）

設l2的解析式為y＝kx+b，

得

解得

∴直線l2的函數表達式為：

（3）若點P在x軸正半軸，如圖3，過點B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC

∴BC＝4，

∵將線段AP繞點P順時針旋轉30°得到BP，

∴AP＝BP，∠APB＝30°，

∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，

∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，

∴△OAP≌△CPB（AAS）

∴OP＝BC＝4，

∴點P（4，0）

若點P在x軸負半軸，如圖4，過點B作BE⊥OC，

∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC

∴BC＝4，

∵將線段AP繞點P順時針旋轉30°得到BP，

∴AP＝BP，∠APB＝30°，

∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，

∴∠APE＝∠PBC，

∵∠AOE＝∠BCO＝30°，

∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，PA＝PB

∴△OAP≌△CPB（AAS）

∴OP＝BC＝4，

∴點P（﹣4，0）

綜上所述：點P坐標為（4，0）或（﹣4，0）