Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

(1)出發2秒后，求PQ的長；

(2)當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒鐘，△PQB能形成等腰三角形？

(3)當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間；

Answer 1

【答案】（1）PQ=2；（2）t=；（3）t=5.5，t=6，t=6.6秒時，△BCQ為等腰三角形.

【解析】

（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）由題意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；

（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：

①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；

②當CQ=BC時（圖2），則BC+CQ=12，易求得t；

③當BC=BQ時（圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）∵∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，

根據勾股定理可得：AC=10

∴BQ=2×2=4cm，BP=AB-AP=8-2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=（cm）；

（2）解：根據題意得：BQ=BP，

即2t=8-t，

解得：t=；

即出發時間為：秒時，△PQB是等腰三角形；

（3）解：分三種情況：

①當CQ=BQ時，如圖1所示：

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時，如圖2所示：

則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時，如圖3所示：

過B點作BE⊥AC于點E，

則BE===4.8（cm）

∴CE==3.6cm，

∴CQ=2CE=7.2cm，

∴BC+CQ=13.2cm，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，

△BCQ為等腰三角形．