Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．

（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；

（2）當運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。理由見解析

【解析】解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°。

∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。

設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。

∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。

∴當∠BQD=30°時，AP=2。

（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。理由如下：

作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF。

∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。

∵點P、Q做勻速運動且速度相同，∴AP=BQ。

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。

∴在△APE和△BQF中，

∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。

∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四邊形PEQF是平行四邊形。

∴DE=EF。

∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB。

又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE=3。

∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。

（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可。

（2）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變。