Question

【題目】如圖1，MN∥EF，C為兩直線之間一點．

（1）如圖1，若∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，若∠ACB=100°，求∠ADB的度數．

（2）如圖2，若∠CAM與∠CBE的平分線相交于點D，∠ACB與∠ADB有何數量關系？并證明你的結論．

（3）如圖3，若∠CAM的平分線與∠CBF的平分線所在的直線相交于點D，請直接寫出∠ACB與∠ADB之間的數量關系： ．

Answer 1

【答案】（1）∠ADB=50°；（2）∠ADB=180°﹣∠ACB；（3）∠ADB=90°﹣ACB．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，根據平行線的性質得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，根據角平分線的定義得到∠1=ACG，∠2=，即可得到結論；

（2）根據平行線的性質得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根據角平分線的定義得到∠1=ACG，∠2=，根據平角的定義即可得到結論；

（3）根據平行線的性質得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根據平行線的定義得到∠1=MAC，∠2=∠CBF，根據四邊形的內角和和角的和差即可得到結論．

解：（1）如圖1，過C作CG∥MN，DH∥MN，

∵MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，

∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，

∵∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，

∴∠1=ACG，∠2=，

∴∠ADB=（∠ACG+∠BCG）=∠ACB；

∵∠ACB=100°，

∴∠ADB=50°；

（2）如圖2，過C作CG∥MN，DH∥MN，

∵MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，

∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，

∵∠MAC與∠EBC的平分線相交于點D，

∴∠1=ACG，∠2=，

∴∠ADB=∠1+∠2=（∠MAC+∠EBC）=（180°﹣∠NAC+180°﹣∠FBC）=（360°﹣∠ACB），

∴∠ADB=180°﹣∠ACB；

（3）如圖3，過C作CG∥MN，DH∥MN，

∵MN∥EF，

∴MN∥CG∥DH∥EF，

∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，

∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，

∵∠MAC與∠FBC的平分線相交于點D，

∴∠1=MAC，∠2=∠CBF，

∵∠ADB=360°﹣∠1﹣（180°﹣∠2）﹣∠ACB=360°﹣∠MAC﹣（180°﹣∠CBF）﹣∠ACB=360°﹣（180°﹣∠ACG）﹣（180°﹣∠BCG）=90°﹣∠ACB．

∴∠ADB=90°﹣ACB．

故答案為：∠ADB=90°﹣ACB．