Question

如圖，⊙O的直徑AB=6cm，P是AB延長線上的一點，過點P作⊙O的切線，切點為C，連接AC，BC．

（1）若∠CPA=30°，求PC的長；
（2）探究：當點P在AB的延長線上運動時，是否總存在∠PCB=∠CAB？若存在，請證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)PC=cm;(2)存在，理由詳見解析.

試題分析：（1）連接OC,由切線的性質(zhì)得OC⊥PC,然后根據(jù)三角函數(shù)定義可求PC的值；（2）由切線的性質(zhì)得∠OCB+∠PCB=90°,因為AB是圓的直徑，根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”得∠A+∠ABC=90°,根據(jù)等角的余角相等，可知∠PCB=∠CAB.歸納：連接圓心與切點之間的半徑是常見的輔助線.
試題解析：（1）連接OC，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，
∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=，
又∠CPA=30°，AB=6cm，
∴（cm），
（2）存在．證明如下：
∵PC為⊙O的切線，
∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°
又∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCB=∠CAB．