Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+1與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第﹣象限內作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）如果在第二象限內有﹣點P（a，），且△ABP的面積與△ABC的面積相等，求a的值；

（3）請直接寫出點Q的坐標，使得以Q、A、C為頂點的三角形和△ABC全等．

Answer 1

【答案】（1）A（，0），B（0，1），C（+1，）；（2）a=；（3）點Q的坐標為：（1， +1 ）；（ 2，﹣1 ）；（ 2+1，﹣1）．

【解析】

（1）由直線解析式可求得A、B的坐標，過C作CD⊥x軸于點D，則可證得△AOB≌△CDA，則可求得CD和AD的長，可求得C點坐標；

（2）過作 PE⊥x 軸于點 E，依據△ABP的面積與△ABC的面積相等，即可得到S△AOB+S梯形BOEP﹣S△AEP=2，得到關于a的方程，從而求得a的值；

（3）依據以Q、A、C為頂點的三角形和△ABC全等，A（，0），B（0，1），C（+1，），即可得到點Q的坐標．

（1）根據題意，直線y=﹣x+1與x軸、y軸分別交于A、B，

令x=0，則y=1；令y=0，則x=，

即A（，0），B（0，1），

即OA=，OB=1，則AB=2；

如圖，過C作CD⊥AO于D，則∠ADC=∠BOA=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=2，∠BAC=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

∴△ABO≌△CAD，

∴AD=BO=1，CD=AO=，

∴C（+1，）；

（2）由題可得，S△ABC=×2×2=2，

如圖，作 PE⊥x 軸于點 E，則EO=﹣a，PE=，AE=﹣a，

∵S△ABC=S△ABP=2，

∴S△AOB+S梯形BOEP﹣S△AEP=2，

即××1+×（+1）×（﹣a）﹣×（﹣a）×=2，

解得a=-4；

（3）以Q、A、C為頂點的三角形和△ABC全等，A（，0），B（0，1），C（+1，），

分三種情況：如圖，當點Q在AC左上方時，過Q1作Q1F⊥y軸于F，連接BQ1，

依據△ABO與△BFQ1全等，可得Q1F=BO=1，BF=AO=，

∴Q1（1， +1 ）；

如圖，當點Q在AC的右下方時，過Q2作Q2G⊥x軸于G，

依據△AOB與△AGQ2全等，可得Q2G=BO=1，AG=AO=，

∴Q2（ 2，﹣1 ）；

如圖，當點Q在AC的右上方時，過C作CH∥y軸，過Q3作Q3H∥x軸，

依據△AOB與△CHQ3全等，可得Q3H=AO=，CH=BO=1，而C（+1，），

∴Q3（ 2+1，﹣1）．

綜上所述，點Q的坐標為：（1， +1 ）；（ 2，﹣1 ）；（ 2+1，﹣1）．