Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm；動點P從點C開始沿CA以2cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BC以 2cm/s的速度向點C移動．如果P、Q、R分別從C、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s．

（1）∠CAB的度數是 ；

（2）以CB為直徑的⊙O與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O相切？

（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求S的最小值及相應的t值；

（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）t=3s時，PM與⊙O相切；（3）當t=3s時，cm2；（4）當s時，△APQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據題意和正切的定義以及特殊角的三角函數值解答即可；

（2）連接OP，OM，根據切線的性質得到∠PMO=90°，證明Rt△PMO≌Rt△PCO，△OBM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質和正切的概念解答；

（3）過點Q作QE⊥AC于點E，根據余弦的概念用t表示出QE，根據三角形的面積公式和二次函數的性質解答；

（4）分PQ1=AQ1=4t、AP=AQ2=4t、PA=PQ3=4t三種情況，作出輔助線，根據等腰三角形的性質計算即可．

解：（1）∵∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm，

∴tan∠CAB==，

∴∠CAB=30°，

故答案為：30°；

（2）如圖1，連接OP，OM．

當PM與⊙O相切時，有∠PMO=∠PCO=90°，

∵MO=CO，PO=PO，

∴Rt△PMO≌Rt△PCO，

∴∠MOP=∠COP；

由（1）知∠OBA=60°，

∵OM=OB，

∴△OBM是等邊三角形，

∴∠BOM=60°，

∴∠MOP=∠COP=60°，

∴CP=COtan∠COP=6tan60°=，

又∵

∴t=

∴t=3，

即：t=3s時，PM與⊙O相切；

（3）如圖2，過點Q作QE⊥AC于點E，

∵∠BAC=30°，AQ=4t，

∴AE=AQcos∠BAC=4tcos30°=，

∴==；

∴S△PQR=S△ACB﹣S△AQP﹣S△QBR﹣S△PCR

=

=

=（0＜t＜6），

∴當t=3s時，cm2；

（4）存在．如圖3，分三種情況：

①PQ1=AQ1=4t時，過點Q1作Q1D⊥AC于點D，

則，

∴，

∴t=2；

②當AP=AQ2=4t時，

∵，

∴=，

③當PA=PQ3=4t時，

過點P作PH⊥AB于點H，

AH=PAcos30°==18﹣3tAQ3=2AH=36﹣6t，

∴36﹣6t=4t，

∴t=3.6，

綜上所述，當s時，△APQ是等腰三角形．